安大略省数学教育大纲明确规定，在数学教学过程中，教师在“授业解惑”的同时，必须培养学生的数学表达能力和数学思维能力。

所以，数学考试，尤其是中学的数学，一般都对学生进行四个方面的测试：知识、应用、表达和思维。

知识和应用，顾名思义，很好理解。知识，就是测试学生对概念的理解和掌握，是由一个一个的知识点组成，比如12年级的微积分，第一章的知识点包括函数的切线，变化率，极限，连续性，导函数等等。这些概念都不难，公式也不复杂，一般学生都不会碰到什么理解上的困难，因为这些概念就是这么定义的，是不变的。应用，简单来说就是做题目，现在有一种流行的说法，叫刷题。这是我们的强项，因为我们都是这样过来的。

如果对照安大略省的数学教育大纲，知识和应用只是数学学习中的基础，更重要的是通过对知识和解题技巧的掌握，来提高学生的数学表达能力和数学思维能力。能力建立在知识基础之上，但是高于知识。由于它的严谨性和逻辑性，数学是培养学生的表达与思维能力的一个非常有用的工具。

数学表达的重要性在于它是分享想法（往往是智慧的火花）和澄清模糊理解的一种有效方式。通过表达，包括书面的和口头的，学生可以不断的反思、完善、讨论、和修正对概念内涵的理解，表达还有助于建立思想和概念的永久性，让知识在脑海里深深地扎根，以后在需要的时候，就可以脱口而出。

数学思维是学好数学的必要条件。数学是一门科学，是一门工具，也是一门语言，即数学语言。对能够流利的用数学语言来思考的学生来说，学习数学就是一种乐趣，就是在使用一种语言，在解决数学问题的时候，能够展现出清晰的思路。

下面举两个例子说明数学表达和数学思维。

例题1，关于函数左右极限的表达。如何用语言表达函数左极限符号：

在表达数学表达式或者符号的时候，一定要避免使用“这个”、“那个”等内容不明确的词语，而要使用精准的数学词汇。

上述左极限符号的正确表述：如果当x从点x=x₀ 的左侧，即x<x₀  , 无限趋近于x₀ 时，函数f(x)无限趋近于常数a，我们就说a是函数f(x)在点x₀ 处的左极限，记作

例题2，假设（a, b）是函数f(x) = 1/x 曲线上的任意一点A，而且x≠0。 证明，由该点（a, b）处的切线与两坐标所组成的三角形的面积为2.

要解这个题目，需要几个步骤，每一步都必须展现出清晰的数学思维：

1， 1，根据函数表达式，算出A点当x=a时y的值；

2，,2，利用导数公式，计算出A点的切线斜率；

3,3，根据切线斜率的值，推切线的函数表达式；

4,4， 根据切线的表达式，算出切线与X和Y的截距；

5，,5，用三角形的面积公式，算出三角形的面积。

通过有目的、有步骤的训练，学生在学习知识的基础上，他们的数学表达和数学思维能力就会慢慢的得到提高，从而喜欢数学，以学习数学为乐。